僕の知恵袋、エアNC30さんから貴重なご助言をいただいたので、早速トライしてみました！
手持ちのナットを複数個（というか、ありったけ）放り込んで、水、洗剤も投入。あとは気が済むまで（？）徹底的にナットを汚れに擦り付けるようにシェイクシェイク！！
左がナット洗い前で、右がナット洗い後。
若干汚れが残っていますが、十分許容範囲でしょう！
あるいはナットをより小さなものに取り替えたり、さらに気の済むまでシェイクしたりすればまた状況が変わったのかもしれませんが、この辺はかけるコストと得られるパフォーマンスとのバランスも取らないとキリがありませんからね〜。
というわけで、ナット洗浄はバッチリ効果アリという結論を手に、次は組み戻し作業です！